Мультипликаторы периодических решений Хилла в теории движения Луны и метод усреднения / Е. А. Кудрявцева. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2015. № 4. С. 13-24.
Изучается 2-параметрическое семейство гамильтоновых систем \mathcal H_{\omega,\varepsilon}
с двумя степенями свободы, где система \mathcal H_{\omega,0} описывает задачу Кеплера во
вращающихся осях с угловой частотой \omega, система \mathcal H_{1,1} описывает задачу Хилла,
т.е. "предельное" движение Луны в плоской задаче трех тел "Солнце–Земля–Луна"
с массами m_1\gg m_2>m_3=0.
Методом усреднения на подмногообразии доказано существование числа \omega_0>0
и гладкого семейства 2\pi-периодических решений
\gamma_{\omega,\varepsilon}(t)=({\bf q}_{\omega,\varepsilon}(t),{\bf p}_{\omega,\varepsilon}(t))
системы \mathcal H_{\omega,\varepsilon}, |\varepsilon|\le1, |\omega|\le\omega_0, такого,
что решения \gamma_{\omega,0} являются круговыми, \gamma_{\omega,\varepsilon}
=\gamma_{\omega,0}+O(\omega^2\varepsilon) и "масштабированные" движения
\tilde\gamma_{\omega,\varepsilon}(\tilde t):=(\omega^{2/3}{\bf q}_{\omega,\varepsilon}(\tilde t/\omega),
\omega^{-1/3}{\bf p}_{\omega,\varepsilon}(\tilde t/\omega)) при 0<|\omega|\le\omega_0 и \varepsilon=1
образуют два семейства решений Хилла, т.е. начальные участки известных семейств f и g_+
(с обратным и прямым направлением движения) 2\pi\omega-периодических решений задачи Хилла
\mathcal H_{1,1}. С помощью усреднения доказано, что сумма мультипликаторов решения Хилла
\tilde\gamma_{\omega,1} имеет вид {\rm Tr}\,(\tilde\gamma_{\omega,1})=4-(2\pi\omega)^2
+(2\pi\omega)^3/(4\pi)+O(\omega^4). Описаны уточнения и обобщения результата на класс систем,
включающий ограниченную задачу трех тел, а также его приложения к планетным системам со спутниками.
Ключевые слова:
задача трех тел, задача Хилла, периодические решения, усреднение на подмногообразии.
