Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 517.51

О равенстве Парсеваля для произведения функций / Лукашенко Т.П. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003. N.3 C. 32-40.

Получены результаты о равенстве Парсеваля в случае, когда наряду с функциями $f$ и $g$ интегрируемо по Лебегу (или в некотором другом смысле) и их произведение $fg$. Доказаны следующие теоремы.

Теорема. Для любых $2\pi$-периодических интегрируемых по Лебегу неотрицательных функций $f$ и $g$, произведение $fg$ которых неинтегрируемо по Лебегу, существуют такие $2\pi$-периодические интегрируемые по Лебегу неотрицательные функции $\varphi$ и $\psi$, $\varphi(x)\leq f(x)$, $\psi(x)\leq g(x)$, произведение которых $\varphi\psi$ равно нулю всюду, но ряд $\displaystyle\sum_{k=-\infty}^{+\infty}\widehat \varphi(k)\overline{\widehat \psi(k)}$ не суммируется методом Абеля, а значит, всеми методами Чезаро и методом Римана $({\cal R},2)$.

Теорема. Если $f$ и $g$ - такие $2\pi$-периодические комплекснозначные интегрируемые в смысле широкого интеграла Данжуа функции с почти всюду дифференцируемыми первообразными, что произведение $Mf\cdot g$ интегрируемо по Лебегу, где $\displaystyle Mf(x)=\sup\limits_{h\ne 0}\left\vert\frac1h\int\limits_x^{x+h}f(t)\, dt\right\vert=\sup\limits_{h\ne 0}\left\vert\frac{F(x+h)-F(x)}{h}\right\vert$ - неабсолютная максимальная функция Харди-Литлвуда функции $f$, то выполняется равенство Парсеваля для метода суммирования Римана

\begin{displaymath} \frac1{2\pi}\int\limits_0^{2\pi}f(x)\overline{g(x)}\,dx=({\... ...um_{k=-\infty}^{+\infty}\widehat f(k)\overline{\widehat g(k)}. \end{displaymath}

Библиогр. 10.

К оглавлению номера  Go!