Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


УДК 517.43+531.31

Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С. Александрова (заседания осеннего и весеннего семестров 2000/2001 учебного года) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2003. N.2 C. 59-63.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ
ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 2000/2001 учебного года

21 сентября

1. С.И. Богатая, С.А. Богатый, О.Д. Фролкина. Аффинность отображений, сохраняющих объем. Доказано, что отображение евклидова пространства размерности не менее $3$ в конечномерное евклидово пространство, переводящее любой треугольник площади $1$ в треугольник площади $1$, является изометрией. Отображение евклидова пространства размерности не менее $2$ в гильбертово пространство, сохраняющее прямой угол, является подобием. Показано также, что отображение евклидова пространства размерности $n$ в себя, переводящее всякий симплекс объема $1$ в симплекс объема $1$, линейно.

2. О.Д. Фролкина. Аффинность отображений, сохраняющих угол. Доказано, что отображение плоскости в себя, сохраняющее угол $\alpha $, $0<\alpha < 180^{\circ }$, является подобием. Показано также, что инъективное отображение плоскости в себя, сохраняющее (равнобедренный или прямоугольный) треугольник, является изометрией. Дан критерий подобности отображения $n$-мерного пространства в себя в терминах сохранения окружностей.

28 сентября

Б.А. Пасынков. О метрических и метризуемых отображениях.

7 октября

1. Т.Ф. Жураев. Функторы конечной степени и паракомпактные $\sigma$-пространства. Вводится понятие проективно индуктивно замкнутого функтора. Установлено, что каждый непрерывный мономорфный конечно открытый, сохраняющий пустые множества, пересечения и прообразы функтор (в частности, финитный нормальный функтор) является проективно индуктивно замкнутым. Показано, что проективно индуктивно замкнутые функторы сохраняют классы паракомпактных $\sigma$($p$)-пространств и класс стратифицируемых пространств.

2. А.Н. Карпов. Свойства типа Линделефа и топологические произведения (предзащита диссертации).

12 октября

П.С. Геворкян. Вопросы эквивариантной подвижности $G$-пространств. Вводится понятие подвижной категории и доказывается
Теорема 1. Топологическое пространство $X$ подвижно тогда и только тогда, когда подвижна соответствующая ему категория $W^X$ Мардешича.

Рассматриваются вопросы эквивариантной подвижности, связанные с заменой действующей группы $G$ на ее замкнутую подгруппу $H$, а также с переходом к пространствам $H$-неподвижных точек и $H$-орбит. Получены следующие основные результаты.
Теорема 2. Пусть $H$ -- замкнутая подгруппа группы $G$. Тогда всякое $G$-подвижное $G$-пространство будет и $H$-подвижным.

Следствие 1. Если $G$-пространство $X$ эквивариантно подвижно, то оно подвижно.

Строится непростой пример $\mathbb{Z}_2$-пространства, где $\mathbb{Z}_2$ -- циклическая группа второго порядка, доказывающий, что обратное утверждение следствия 1 не верно.
Теорема 3. Пусть $H$ -- замкнутая подгруппа группы $G$. Если $G$-пространство $X$ $G$-подвижно, то множество всех его $H$-неподвижных подвижно.

Теорема 4. Пусть $X$ -- метризуемое $G$-пространство. Если $X$ эквивариантно подвижно, то эквивариантно подвижно и пространство $H$-орбит ${X\vert}_H$ для любой замкнутой нормальной подгруппы $H$ группы $G$.

Следствие 2. Пусть $X$ -- метризуемое $G$-пространство. Если $X$ эквивариантно подвижно, то пространство орбит ${X\vert}_G$ подвижно.

Пример соленоида показывает, что следствие 2, вообще говоря, необратимо. Однако оказывается, что оно обратимо в случае, когда группа $G$ лиева, а действие свободно.
Теорема 5. Пусть $G$ -- компактная группа Ли. Метризуемое свободное $G$-пространство эквивариантно подвижно тогда и только тогда, когда его пространство орбит подвижно.

Доказывается, что в последней теореме условия лиевости и свободности действия группы $G$ существенны.

1. Т.Ф. Жураев. Логарифмический закон для размерности функторов конечной степени. Пусть $\cal F$ -- проективно индуктивно замкнутый функтор степени $m$ и $X$ -- паракомпактное $\sigma$($p$)-пространство или стратифицируемое пространство. Тогда $\dim {\cal F}_\beta (X)\leq m \dim X+\dim {\cal F}_\beta ({m})$. В частности, если $\cal F$ -- нормальный функтор степени $m$, то $\dim {\cal F}_\beta (X)\leq m \dim X$.

2. К.Л. Козлов, В.А. Чатырко (Швеция). Об эквивариантных расширениях $G$-пространств. Пусть $G$ -- топологическая группа, действующая на пространстве $X$, и $O_\alpha, \alpha\in\cal A$, -- ее база в единице. Тогда семейство покрытий ${\{O_\alpha x\}}_{x\in X}, \alpha\in\cal A$, пространства $X$ порождает на нем равномерность $\cal U$. Установлено, когда $\beta_G X$ является компактификацией Самюэля пространства $X$ относительно равномерности $\cal U$. В качестве следствий приводятся: 1) условие метризуемости максимальной эквивариантной бикомпактификации метрического пространства; 2) примеры групп $G_n, n\in\mathbb{N}$, действующих на пространстве рациональных чисел $\mathbb{Q}$, таких, что $\dim\beta_{G_n}\mathbb{Q}=n$; 3) пример группы $G$ и пространства $X$, такого, что $\dim X=0$, а $\dim\beta_G X=\infty$.

26 октября

А.В. Архангельский. О пополнении по Хьюитту топологических колец, полей и линейных топологических пространств. Пространство $X$ называется московским, если замыкание каждого открытого множества является объединением $G_\delta$-множеств.
Теорема 1. Если топологическое кольцо $K$ неизмеримой (по Уламу) мощности является московским пространством, то операции в $K$ могут быть непрерывно продолжены на пополнение по Хьюитту $\nu K$ пространства $K$, причем $\nu K$ становится топологическим кольцом, содержащим $K$ в качестве топологического подкольца.

Аналогичный результат получен для линейных топологических пространств неизмеримой мощности, являющихся московскими пространствами.
Теорема 2. Если топологическое поле $P$ неизмеримой мощности является московским пространством, то оно субметризуемо (т.е. уплотняется на метризуемое пространство) и, следовательно, все его подпространства полны по Хьюитту (в частности, $\nu P=P$).

2 ноября

1. И.В. Блудова. О теореме Немыцкого-Тихонова для тривиально метризуемых отображений. Полнота любой тривиальной метрики на тривиально метризуемом отображении $f: X \to Y$ равносильна его компактности в двух случаях: когда $Y$ имеет счетную тесноту и когда прообраз $X$ псевдокомпактен или со свойством Суслина.

2. С.В. Людковский. Двойственность $\kappa$-нормированных пространств. Определена и исследована двойственность $\kappa$-нормированных топологических векторных пространств $X$ над полем $K=\mathbb{R}$, $\mathbb{C}$ и неархимедовым полем. Для таких пространств доказан аналог теоремы Макки-Аренса. Изучена условная $\kappa$-нормируемость пространства $L(X)$ линейных топологических гомеоморфизмов локально выпуклого $\kappa$-нормируемого пространства $X$, когда соответствующие операции не выводят за пределы $L(X)$. Исследованы случаи, когда $\kappa$-норма продолжается с $X\times 2_O^X$ на $X\times 2_\delta^X$, где $2_O^X$ обозначает семейство канонических замкнутых подмножеств в $X$, а $2_\delta^X$ -- семейство замкнутых $G_\delta$-подмножеств. Доказано, что из $\kappa$-нормируемости пространства $(X, 2_\delta^X)$ вытекает локальная выпуклость пространства $X$.

16 ноября

В.В. Федорчук. О проективных пределах вероятностных мер. Если проекции являются совершенными отображениями, то проективный предел $\tau$-аддитивных вероятностных мер является $\tau$-аддитивной вероятностной мерой.

30 ноября

1. К.В. Матюшичев. О $e$-компактификациях. Дано описание частично упорядоченного множества $e$-компактификаций данного $e$-компактифицируемого пространства на языке $H$-структур. Сформулирован критерий $H$-замкнутости. Рассмотрены непрерывные и слабо непрерывные относительно всюду плотного множества отображения.

2. И.В. Ященко. Об $AP$-пространствах. Исследуются свойства пространств, в которых топология определяется почти замкнутыми множествами. Показано, что совместимо существование $AP$-пространства с плотным не $AP$-подмножеством. Доказано, что $C_p (C_p (X))$ обладает свойством $AP$, если и только если пространство $X$ конечно.

7 декабря

Т.О. Банах. О топологической классификации выпуклых множеств в линейных топологических пространствах. Дан обзор результатов, касающихся топологической классификации выпуклых множеств методами теории поглощающих и копоглощающих пространств.

Описаны классы $\cal G$ пространств, для которых $\cal G$-универсальность пространства $X$ совпадает с $\cal G$-универсальностью произведения $X\times {[0, 1]}^\omega$ (пространство $X$ называется $\cal G$-универсальным, если любое пространство $c\in\cal G$ гомеоморфно замкнутому подмножеству $X$).

14 декабря

Дивертисмент

1. Г.П. Амирджанов. Во всяком ли бикомпакте существует всюду плотное нульмерное подпространство?

2. А.В. Архангельский. При каких условиях на группы (счетная теснота, свойство Суслина, группы -- московские) их произведение $G_1\times G_2$ (квадрат $G^2$) будет московским пространством?

3. А.В. Архангельский. Топологическая группа $G$ называется PT-группой, если ее пополнение по Дьедонне $\mu G$ -- топологическая группа и $G$ -- ее подгруппа. Будет ли произведение (квадрат) PT-групп PT-группой? Ранее были поставлены вопросы, тесно связанные с данной тематикой. Пусть $G$ -- топологическая группа, ее пополнение по Хьюитту $\nu G$ топологически однородно. Будет ли $\nu G$ топологической группой (Э.ван Дауэн)? Когда пополнение по Дьедонне (пополнение по Хьюитту) топологической группы будет топологической группой (М.Г. Ткаченко, В.Г. Пестов, 1985)?

4. А.В. Архангельский. Когда $\mu (X\times Y)=\mu X\times\mu Y$ ($\nu (X\times Y)=\nu X\times\nu Y$) (а если $X, Y$ -- группы)?

5. С.А. Богатый. Существует ли на плоскости функция, монотонная на каждой прямой?

6. К.Л. Козлов. Существует ли $G$-простанство $X$, такое, что $\dim X>\dim\beta_G X$, где $\beta_G X$ -- максимальная эквивариантная бикомпактификация $X$?

7. А.П. Комбаров. Будет ли произведение нормального счетно-компактного пространства и счетного пространства нормально?

8. Б.А. Пасынков. Существуют ли регулярные пространства с ${\rm ind}X=1, {\rm ind}Y=1$, такие, что ${\rm ind}(X\times Y)=3$? Минимизировать оценивающие функции ${\rm ind}(X\times Y)\leq i({\rm ind}X, {\rm ind}Y)$ ( ${\rm Ind}(X\times Y)\leq I({\rm Ind}X, {\rm Ind}Y)$), построить примеры с максимальным разрывом.

9. Б.А. Пасынков. Существует ли пространство локально тривиального расслоения с бикомпактным слоем, чья лебегова размерность больше суммы размерностей базы и слоя?

10. В.И. Пономарев, Ю.Ю. Трохимчук. Пусть $\pi$ -- отображение канторова совершенного множества $C$ на отрезок $[0,1]$. Существует ли в $C$ всюду плотное подмножество $A$, такое, что $\pi (A)=(0,1)$ и $\pi\vert _A$ открыто?

11. В.В. Федорчук. Всегда ли для многообразий $M$ и $N$ выполняется неравенство $\dim (M\times N)\leq\dim M +\dim N$?

12. В.В. Федорчук. Можно ли предположение принципа Йенсена $\diamondsuit$ ослабить до CH в следующих теоремах.

($\diamondsuit$) Существует 4-многообразие $M_5$ ($\dim M_5=5$), такое, что $\dim M_5^2=9$.

($\diamondsuit$) Для любых $r, m, n$, таких, что $r\geq\max\{ m, n \}+1, m, n\geq 5,$ существуют 4-многообразия $M\, (\dim M=m)$ и $N\, (\dim N=n)$, такие, что $\dim (M\times N)=r$.

($\diamondsuit$) Существует 4-многообразие $M$, такое, что любое его замкнутое подмногообразие или четырехмерно, или бесконечномерно.

Заседания весеннего семестра 2000/2001 учебного года

15 февраля

1. С.А. Богатый, Д. Гонсалвес (Бразилия),

Е.А. Кудрявцева, Х. Цишанг (Германия). Минимальное число корней отображения поверхности. Вычислено минимальное число корней $MR[f]= \max \left\{\ell(f), \right. $ $\left. \chi(M_1) + (1-\chi(M_2)) A(f) \right\}$ заданного отображения $f:M_1\to M_2$ замкнутых (не обязательно ориентируемых) поверхностей.

2. Б.А. Пасынков. О размерности пространств с решетками из $d$-открытых отображений.

22 февраля

С.И. Богатая, С.А. Богатый, Х. Цишанг (Германия). О композициях открытых отображений. Построено 4-кратное накрытие поверхности рода 2 поверхностью рода 5, которое не представляется в виде композиции двух открытых нетривиальных отображений, что показывает неполноту препятствия Баилдона. Доказываются различные теоремы о разложимости регулярного накрытия в композицию (регулярных) накрытий разных кратностей в разных последовательностях. Для разветвленных накрытий предложено новое препятствие к разложимости -- массив ветвления точек ветвления.

1 марта

1. В.В. Федорчук. О промежуточных размерностях многообразий. В предположении континуум-гипотезы построены 4-многообразия $M_1$ и $M_2$ со следующими свойствами:

1) $\dim F\leq 4$ или $\dim F=\infty$ для всякого замкнутого множества $F\subset M_1$;

2) размерности открытых подмножеств $M_2$ принимают бесконечное множество значений.

2. Ю.С. Рассохин. Динамические свойства изометрий. Дано новое короткое доказательство равномерной почти периодичности изометрии компакта: для всякой изометрии $f$ метрического компакта $X$ и всякого $\epsilon>0$ существует такое $N$, что среди всяких идущих подряд $N$ итераций отображения $f$ некоторая итерация $f^{i+1},\dots, f^{i+N}$ отличается от тождественного отображения не более чем на $\epsilon$.

А.В. Иванов (Петрозаводск). О строго эпиморфных функторах.

22 марта

1. С.А. Богатый. Общая неподвижная точка коммутирующих отображений отрезка. Доказано, что если два коммутирующих отображения отрезка не имеют общей неподвижной точки, то энтропия их композиции не менее 2. Построен пример змеевидного континуума, два коммутирующих гомеоморфизма которого не имеют общей неподвижной точки.

2. О.Д. Фролкина. Общая неподвижная точка коммутирующих открытых отображений. Для деревьев решена усиленная задача Грэя-Смита: для семейства коммутирующих открытых отображений дерева в себя и коммутирующего с ними непрерывного отображения существует общая неподвижная точка. Описаны непрерывные функции, коммутирующие с многочленом Чебышева.

29 марта

1. С.А. Григорян, Р.Н. Гумеров (Казань). Структура конечнолистных накрытий компактных связных групп. В категории морфизмов компактных пространств рассмотрена полная подкатегория n-COV $n$-листных накрытий, базами которых являются топологические группы. Для каждого объекта $p\in$n-COV построен такой кофунктор $F$ из категории направленного множества в

n-COV, что $p=\lim\limits_{\leftarrow} F$ и $F$ принимают значения в подкатегории накрытий групп Ли. Для накрытия $p: X\to G$ компактной группы $G$ связным пространством $X$ доказано существование структуры топологической группы на $X$, превращающей $p$ в гомоморфизм групп. В случае компактной связной абелевой группы получен критерий тривиальности всех ее $n$-листных накрытий в терминах дуальной группы, а также установлена алгебраичность конечнолистных накрытий.

2. К.Л. Козлов, В.А. Чатырко (Швеция). Максимальные эквивариантные бикомпактификации $G$-пространств как пополнения. Пусть $G$ -- топологическая группа, действующая на пространстве $X$, и $O_\alpha, \alpha\in\cal A$, -- ее база в единице. Установлено, когда семейство покрытий ${\{{\rm cl}(O_\alpha x)\}}_{x\in X}, \alpha\in\cal A$, пространства $X$ порождает равномерность и как она связана с максимальной эквивариантной бикомпактификацией пространства $X$.

5 апреля

1. Ю.А. Турыгин. Аппроксимация $n$-мерных отображений $n$-мерными симплициальными. Доклад посвящен вопросу Б.А. Пасынкова о распространении теоремы Гуревича о нульмерном отображении $n$-мерного компакта в $n$-мерный куб и вопросу В.В. Успенского об аппроксимируемости $n$-мерных отображений между компактами $n$-мерными симплициальными отображениями компактных полиэдров. Утверждается, что эти вопросы эквивалентны в том смысле, что положительный ответ на один из них влечет положительный ответ на другой. Также доказывается, что ответы на оба вопроса положительны в классе $C$-компактов. В частности, доказана следующая теорема: пусть $f: X \to Y$ есть $n$-мерное отображение $C$-компактов. Тогда для любого открытого покрытия $\omega_X$ пространства $X$ и любого открытого покрытия $\omega_Y$ пространства $Y$ существуют соответственно $\omega_X$- и $\omega_Y$-отображения $\kappa_X: X\to \vert{\cal K}\vert$ и $\kappa_Y: Y\to \vert{\cal L}\vert$ и $n$-мерное симплициальное отображение $p: \vert{\cal K}\vert\to \vert{\cal L}\vert$, такие, что $p\circ\kappa_X=\kappa_Y\circ f$.

2. В.В. Федорчук. Некоторые вопросы об отображениях. Верна ли лемма о параллельных для простых почти гомеоморфизмов?

12 апреля

1. В.С. Русских (Ижевск). Свойства, близкие к компактности. Рассматриваются виды относительной компактности: понятия бикомпактности, счетной компактности переносятся на подмножества. Приводится пример $(wa)$-пространства, которое не $(a)$-пространство. Также приведены примеры хаусдорфова пространства с первой аксиомой счетности и вполне регулярного пространства, не обладающих свойством $(wa)$.

2. Р.Л. Фертиков (Ижевск). О порядке Рудин-Кейслера на классах эквивалентности $\beta\omega$. Описан порядок Рудин-Кейслера и существенный порядок в терминах, в которых ранее был введен порядок Рудин-Фролика.

19 апреля

1. К.Л. Козлов. О псевдокомпактности в категории $G$-пространств. Дается распространение понятия $G$-псевдокомпактности, которое ввел Я.де Врис, в случае, когда действующая группа локально бикомпактна.

2. О.В. Сипачева. Счетные группы и фильтрованные произведения. Доказано, что все уравнения над счетными локально конечными группами (кроме уравнений определенного вида, не разрешимых никогда) топологически разрешимы в классе локально компактных групп. Обсуждаются фильтрованные произведения групп и топологических пространств и высказывается гипотеза о том, что любое уравнение над группой, принадлежащей квазимногообразию, порожденному конечными группами, топологически разрешимо в классе локально компактных групп.

26 апреля

С.А. Богатый. Геометрия отображений в евклидово пространство и теорема Тверберг. Обсуждаются результаты о существовании у некоторых множеств общей $d$-мерной секущей плоскости. Например, любые $(m-d)(q-1-d)+q$ точек в $\mathbb{R}^m$ можно разбить на $q$ попарно непересекающихся подмножеств $M_1,\dots, M_q$, выпуклые оболочки которых имеют общую $d$-трансверсаль.

3 мая

1. А.А. Ванин. Об одном обобщении слабой паракомпактности. Вводится понятие плотно счетно-разложимого пространства. Показано, что: а) такие пространства выдерживают взятие совершенного открытого прообраза; б) для нормальных плотно счетно-разложимых пространств из условия ${\rm loc}\dim X\leq n$ следует условие $\dim X_0\leq n$ для некоторого всюду плотного подмножества $X_0\subset X$ типа $F_\sigma$; в) при некоторых дополнительных условиях из условия ${\rm loc}\,{\rm Ind}X\leq n$ следует условие ${\rm Ind}X_0\leq n$ для некоторого всюду плотного подмножества $X_0\subset X$ типа $F_\sigma$.

2. Л.С. Сугаипова. Аксиоматический метод исследования особых точек. Аксиоматический метод исследования дифференциальных уравнений, предложенный польским математиком Зарембой, в последние годы получил развитие в работах В.В. Филиппова. Рассматривается пространство $Z$ непрерывных функций, удовлетворяющее некоторым аксиомам, которые выполняются для большинства дифференциальных уравнений и включений.

Автором исследуются окрестности изолированной нестационарной точки, не удовлетворяющей условию Кнезера (связность воронок), и изолированной стационарной точки пространства $Z$. Выводится формула для вычисления индексов таких точек.

10 мая

В.В. Федорчук. Об отображении пространств вероятностных мер.

17 мая

Е.В. Щепин. О топологии ламинаций рациональных отображений. Ламинацией рационального отображения $R: \bar\mathbb{C}\to\bar\mathbb{C}$ сферы Римана называется пространство обратного предела последовательности сфер Римана, в которой все проекции $p_{i, i+1}$ совпадают с $\mathbb{R}$. Основным результатом является обобщение теоремы Шенфлиса о том, что всякая простая замкнутая кривая на сфере ограничивает область, гомеоморфную диску. Эта теорема распространяется на ламинации.

В.В. Федорчук, Б.А. Пасынков,
В.И. Пономарев, В.В. Филиппов

К оглавлению номера  Go!