Вестник Московского Университета. Математика, Механика - Содержание


Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С.Александрова  // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2001. N.3 C. 72-76.

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ имени П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания осеннего семестра 1997/98 учебного года

18 сентября

1. А.В. Архангельский. Сильная $\tau$-псевдокомпактность и инициальная $\tau$-компактность.

2. В.В. Филиппов. О пространстве оптимальных решений и уравнениях с разрывами по пространственным переменным. Обсуждаются уравнения с разрывной правой частью, возникающие при синтезе оптимального уравнения. При их реализации пространства решений могут меняться. С другой стороны, предлагаемая аксиоматика пространств решений хорошо подходит к описанию свойств оптимальных уравнений.

25 сентября

1. С.М. Агеев (Брест), С.А. Богатый. Компакт Банаха-Мазура $Q(2)$ не гомеоморфен гильбертову кубу. Определяется ориентированный компакт Банаха-Мазура $SQ(n)=C(n)/SL(n)$. Тогда $Q(n)=SQ(n)/(GL(n)/SL(n))=SQ(n)/\mathbf{Z}_2$. Доказано, что $SQ(2)\setminus \{{\rm Eucl}\}=K(\mathbf{Q},2)$. В качестве следствия получено, что $H^4(Q(2)\setminus \{{\rm Eucl}\};\mathbf{Q})\neq 0$, поэтому $Q(2)\not\approx Q$.

2. Б.А. Пасынков. О некоторых модификациях паракомпактности и нормальности.

2 октября

1. В.А. Курлин. Базисные вложения. Понятие базисного вложения компакта в $\mathbf{R}^m$ (или, более общо, в произведение $Y_1\times\dots\times Y_m$) появилось в исследованиях Колмогорова и Арнольда (1957), мотивированных решением 13-й проблемы Гильберта. Из этих результатов, а также результатов Остранда (1968) и Шьернфельда (1988) вытекает, что при $m\geq 3$ компакт $X$ базисно вложим в $\mathbf{R}^m$ тогда и только тогда, когда ${\rm dim} X\leq (m-1)/2$. Скопенковым (1995) был найден критерий базисной вложимости линейных связных континуумов в $\mathbf{R}^2$. В докладе дано описание графов, базисно вложимых в $T_m\times T_n$ (где $T_m$ -- $m$-од, т.е. звезда с $m$ лучами).

2. Д.В. Малыхин. Счетное произведение радиальных бикомпактов псевдорадиально. Радиальность и псевдорадиальность являются понятиями, обобщающими понятия пространства Фреше-Урысона и секвенциального пространства соответственно. Доказано, что произведение любой счетной системы радиальных бикомпактов является псевдорадиальным бикомпактом.

9 октября

1. Д.И. Савельев. Замечание о связи мощности с мерой. Любое множество вещественных чисел, измеримое по Лебегу и имеющее положительную меру или обладающее свойством Бэра и имеющее вторую категорию, содержит совершенное подмножество и, значит, имеет мощность $2^{\aleph_0}$. Обязано ли любое множество мощности $<2^{\aleph_0}$ иметь нулевую меру Лебега и первую категорию? Этот вопрос неразрешим в ZFC. Однако аксиома Мартина утвердительно отвечает на более сильный вопрос: в предположении MA класс множеств нулевой меры Лебега как множеств первой категории является $\aleph_\tau$ идеалом для всякого $\aleph_\tau<2^{\aleph_0}$. Доказано, что это остается справедливым и для $s$-меры Хаусдорфа при любом $s>0$; очевидно, тогда все множества мощности $<2^{\aleph_0}$ имеют нулевую размерность Хаусдорфа. Нулевая мера Лебега таких множеств получена другим способом. Этот способ опирается на один результат о непротиворечивости, относящийся к теории линейного порядка.

2. К.Р. Салихов, А.Б. Скопенков. Специальные клеточноподобные резольвенты 2-полиэдров. Клеточноподобные резольвенты широко используются в геометрической топологии (например, в проблеме распознавания топологических многообразий). Отображение $f:Q\to P$ называется клеточноподобным, если оно сюръективно и его слои клеточноподобны. Клеточноподобной резольвентой пространства $P$ называется пара $(Q,f)$, где $f:Q\to P$ -- клеточноподобное отображение. Очевидно, что любой граф имеет клеточноподобную резольвенту, для которой $Q$ -- граф, такой, что все степени его вершин равны 3. Основной результат доклада -- перенесение этой теоремы на двумерный случай: любой конечный размерностно-однородный 2-полиэдр $P$ (т.е. любая точка в $P$ имеет сколь угодно малые окрестности размерности 2), такой, что $P-P'$ и $P'-P''$ являются объединениями открытых 2- и 1-дисков соответственно (здесь $P'$ и $P''$ -- существенный 2-остов и 1-остов соответственно), имеет клеточноподобную резольвенту, для которой $Q$ -- специальный полиэдр.

16 октября

И.Х. Сабитов. Обобщенная формула Герона и решение основных задач метрической теории многогранников.

23 октября

С.А. Богатый. Теоремы Хелли, Радона и задача Р. Радо. Решена задача Р. Радо о пересечении линейных и выпуклых оболочек некоторых подмножеств заданного множества мощности $n+2$ в $\mathbf{R}^n$.

30 октября

1. А.Ю. Зубов. Отделимость ростками функций. Рассматриваются топологические пространства с фиксированными на них фильтрами открытых множеств. Вводится понятие финально непрерывного ростка по этим фильтрам и обсуждаются вопросы отделимости. Полученные результаты применяются для решения одного вопроса Б.А. Пасынкова, связанного с послойной топологией.

2. П.В. Семенов. Дифференциальные включения и непрерывные селекции. Доказана селекционная теорема, объединяющая выпуклозначную селекционную теорему Майкла и недавнее обобщение теоремы Фрышковского, предложенное Агеевым.

3. И.В. Ященко. О пространствах со свойствами (слабой) точечной аппроксимации.

13 ноября

1. В.И. Малыхин. Некоторые новые результаты о вполне ограниченных группах.

2. В.В. Филиппов, С.А. Дроздовский. О многозначных селекциях. Обобщаются метод покрытий и компактнозначная теорема Майкла. Доказывается теорема о продолжении полунепрерывных сверху компактнозначных селекций полунепрерывных снизу многозначных отображений. Полученные результаты применяются к многозначным селекциям, обладающим свойствами Каратеодори и Дэви.

20 ноября

1. А.В. Архангельский, Р.З. Бузякова. Теорема о мощности для линейно линделефовых пространств. Пространство $X$ называется линейно линделефовым, если каждое несчетное множество $A\subset X$ регулярной мощности имеет точку накопления в $X$.

Теорема. Мощность секвенциального линейного линделефова тихоновского пространства $X$ не превосходит $2^\omega$ в том и только в том случае, когда псевдохарактер пространства $X$ не превосходит $2^\omega$ (в частности, если каждая точка -- типа $G_\delta$ в $X$).

Показано также, что каждое локально метризуемое линейно линделефово хаусдорфово пространство является метризуемым пространством со счетной базой (следовательно, линделефово).

Следствие. На прямой $\mathbf{R}$ не существует локально компактной линейно линделефовой не линделефовой топологии, более сильной, чем обычная топология прямой.

2. А.Ю. Зубов. Вложения пространств по Херрлиху и классы компактных отображений. Регулярное пространство $X$ называется херрлиховским относительно $T_1$-пространства $E$, $\vert E\vert>1$, если любое непрерывное отображение $f:X\to E$ постоянно. Рассматриваются вложения произвольных регулярных пространств в херрлиховские, обладающие специальными свойствами. Обсуждается применение полученных результатов в послойной общей топологии.

27 ноября

1. А.А. Иванов (Санкт-Петербург). О произведениях топологических пространств и отношениях. В 1951 г. Дугунджи рассмотрел на множестве $C(Y,Z)$ всех непрерывных отображений топологических пространств $Y$ и $Z$ максимальную топологическую структуру, при которой из непрерывности отображения $F:X\times Y\to Z$ следует непрерывность отображения $G:X\to C(Y,Z)$, где $X$ -- произвольное топологическое пространство и $G(x)(y)=F(x,y)$ для всех $x\in X, y\in Y$. В 1993 г. Георгиу, Илиадис и Паподополос заменили произвольные топологические пространства $X$ топологическими пространствами произвольного фиксированного класса ${\cal A}$. Здесь опять $X\times Y$ -- обычное произведение топологических пространств. В 1997 г. автором была рассмотрена ситуация, при которой на $X\times Y$ произвольно фиксируется (с небольшим ограничением) топологическая структура $t$, определяющая предыдущей конструкцией топологическую структуру $t_{\star}$ на $C(Y,Z)$. Такой подход позволяет обратить конструкцию Дугунджи и по каждой топологии $t$ на $C(Y,Z)$ определить минимальную топологическую структуру $t^{\star}$ на $X\times Y$, при которой из непрерывности отображения $G:X\to C(Y,Z)$ следует непрерывность отображения $F:X\times Y\to Z$. Если $(t_{\star})^{\star}=t$ или $(t^{\star})_{\star}=t$, то структуры $t$ и $t_\star$ ($t$ и $t^\star$) называются двойственными друг другу топологическими структурами. В докладе изучаются некоторые двойственные топологические структуры на $X\times Y$ и $C(Y,Z)$.

2. М.В. Матвеев. О некоторых свойствах, связанных с базами и покрытиями. Рассматриваются пространства c $\sigma$-центрированными и $\sigma$-сцепленными базами, а также следующие обобщения линделефовости: в любое открытое покрытие можно вписать $\sigma$-центрированное ($\sigma$-сцепленное) открытое покрытие.

4 декабря

1. И.В. Блудова, Дж. Нордо (Италия), Б.А. Пасынков. О гомеоморфизме пространств и обобщении теоремы Магилла.

2. С.Р. Габдрахманов. Спектр Фучека, сходимость пространств решений и существование периодических решений.

18 декабря

1. С.А. Богатый, Д. Гонсалвес (Бразилия), Ч. Цишанг (Германия). Число корней уравнения на поверхности равно $N=\max \{l(f), d-(d\chi_{S_h}-\chi_{S_g})\}$. Для отображения $f:S_g\to S_h$ поверхности рода $g$ в поверхность рода $h$ найдено число $\mu(f)=\min_{f'\sim f}\vert\{x:f'(x)=C\}\vert$. В доказательстве неравенства $\mu(f)\geq N$ используется полученный авторами аналог теоремы Кнезера для поверхностей с краем. Неравенство $\mu(f)\leq N$ получается построением разветвленных накрытий с данным образом фундаментальной группы. Даны приложения к решению уравнений в свободных группах.

2. А.Ю. Зубов. Равномерные и близостные структуры на отображениях (предзащита диссертации).

Заседания весеннего семестра 1997/98 учебного года

19 февраля

1. С.А. Богатый. Булевы функции, когомологическая размерность и теоремы типа Хелли. Дается аксиоматическая версия теоремы Хелли, из которой выводятся многочисленные следствия об общем пересечении (объединении).

2. П.В. Семенов. Селекционные теоремы и теоремы о минимаксе. На основании полученных ранее селекционных теорем выведены теоремы о минимаксе для функций двух переменных, множества подуровней которых имеют контролируемую степень невыпуклости.

26 февраля

1. С.В. Людковский. $\kappa$-Нормированные топологические векторные пространства. Локально выпуклое пространство $X$ над полем $K=\mathbf{R}$ или $\mathbf{C}$, или неархимедовым полем называется $\kappa$-нормированным, если на нем существует непрерывная по $x\in X$ $\kappa$-метрика $\rho(x,C)$ при каждом фиксированном $C\in 2_o^X$, удовлетворяющая дополнительным условиям: (N5) $\rho(x+y,{\rm cl} (C_1+C_2))\leq \rho(x,C_1)+\rho(y,C_2)$; (N6) $\rho(\lambda x,\lambda C)=\vert\lambda\vert\rho(x,C)$ для любого $\lambda\neq 0$; (N7) $\rho(x+y,y+C)= \rho(x,C)$, где $2_o^X$ обозначает семейство канонических замкнутых подмножеств. Доказано, что (1) произведение $\kappa$-нормированных пространств является $\kappa$-нормированным, (2) каждое $\kappa$-нормированное пространство является факторпространством соответствующего свободного. Показано, что строгие индуктивные пределы в общем случае не сохраняют свойство $\kappa$-нормируемости. Исследованы аналоги теорем о неподвижной точке и замкнутом графике для отображений $f:2_o^X\to 2_o^Y$. Рассмотрены пополнения $2_\delta^X$, являющиеся семействами замкнутых $G_\delta$-подмножеств.

2. И.В. Ященко. О комплементарных топологиях.

5 марта

1. С.А. Перегудов. О порядковых и топологических свойствах отношения предпочтения. Рассматривается свойство отношения предпочтения, эквивалентное существованию непрерывных функций полезности для естественных топологий.

2. Д.И. Савельев. О пространстве порядковых типов множеств действительных чисел. В предположении континуальной формы аксиомы выбора пространство порядковых типов множеств действительных чисел, упорядоченное по вложению, обладает многими интересными свойствами. Например, показано, что оно $\mbox{\goth c}$-универсально и в некотором смысле весьма однородно. Другой результат: тип $\lambda$ действительной прямой строго $2^{\mbox{\goth c}}$-пределен.

12 марта

1. Ю.В. Садовничий. О норме Канторовича для знакопеременных мер. В 1942 г. Л.В. Канторович, решая задачу о перемещении масс, определил некоторую норму на пространстве $M(X)$ всех борелевских знакопеременных регулярных мер на метрическом компакте $(X,\rho)$. Он доказал, что эта норма порождает слабую топологию на ограниченных подмножествах $M(X)$. Конструкция Канторовича может быть распространена на пространство $M^\tau(X)$ всех $\tau$-аддитивных мер на ограниченном метрическом пространстве $X$. Но оказывается, что его результат о слабой топологии верен только для компактных $X$.

2. Е.В. Щепин. Об асферичности компактов.

19 марта

1. С.А. Богатый. Неравенство Урысона, теоремы Остранда и Золотарева. Доказано, что во всяком $n$-мерном метрическом пространстве существует такое счетное множество нульмерных $G_\delta$-подмножеств, объединение любых $(n+1)$ экземпляров которых есть все пространство. Получено следствие о характеризации размерностей в духе теоремы Золотарева о пересечении топологий.

2. В.В. Федорчук. К тождеству Урысона. Обсуждается вопрос о совпадении в классе метризуемых компактов брауэровской размерности Dg и урысоновской размерности Ind. Доказано, что малая брауэровская размерность dg любого наследственно неразложимого континуума равна 1.

2 апреля

1. Н.Б. Бродский. О продолжении компактнозначных отображений.

2. А.В. Карасев. Бесконечномерное $4$-многообразие конечной когомологической размерности при CH. В предположении континуум-гипотезы построено 4-многообразие $M$ размерности ${\rm dim} M=\infty$ и конечной когомологической размерности $cA-{\rm dim} M=4$.

3. П.В. Семенов. Селекционные гипертопологии. Топология $\tau$ в некотором подмножестве экспоненты селекционная, если разрешима селекционная задача для $\tau$-непрерывных отображений паракомпактов в это подмножество. Приведены способы построения таких топологий, основанные на рассмотрении функций невыпуклости замкнутых подмножеств банаховых пространств.

9 апреля

1. Н.Г. Мощевитин. О $\tau$-множествах. Обсуждается вопрос о том, когда пересечение канторовых множеств является канторовым.

2. Д.И. Савельев. О двойственности между мерой и категорией. Пусть $\Phi$ -- класс высказываний, использующих лишь понятия чистой теории множеств и понятия нулевой меры и первой категории. Для $\varphi\in \Phi$ пусть $\varphi^*$ -- высказывание, полученное из $\varphi$ взаимной заменой терминов ``нулевая мера'' и ``первая категория''. Теорема Серпинского-Эрдеша гласит:

\begin{displaymath} CH\to \forall \varphi\in\Phi(\varphi\leftrightarrow\varphi^*) . \end{displaymath}

Доказано, что достаточно вместо континуум-гипотезы использовать аксиому Мартина; рассмотрены близкие вопросы.

3. О.В. Сипачева. Счетные пространства Фреше-Урысона. Предлагаются конструкции, позволяющие строить счетные и сепарабельные пространства и группы, обладающие свойством Фреше-Урысона и более сильными свойствами. С помощью одной из этих конструкций построен наивный пример неметризуемого сепарабельного компакта, который является $\alpha_2$-пространством и бисеквенциален (и даже является непрерывным образом компакта с первой аксиомой счетности).

16 апреля

1. Й. Малешич (Словения.) Липшицевы действия на компактах.

2. О.В. Сипачева. Произведения нормальных счетно-компактных пространств. С согласия О.И. Павлова излагается построенный им в континуум-гипотезе пример пространства $X$, такого, что счетная степень этого пространства нормальна, само оно счетно-компактно, но квадрат его не счетно-компактен. Это пространство было построено по просьбе докладчика и позволяет получить первый (совместимый) пример пространства, нормального во всех конечных (и даже счетной) степенях, свободная топологическая группа которого не нормальна.

23 апреля

1. С.А. Богатый, В.В. Федорчук. Гильбертов куб и аменабельность групп. Дан критерий существования у заданного аффинного действия заданной группы $G$ на компактном выпуклом пространстве неподвижной точки. В качестве следствия получен критерий аменабельности дискретной группы, который дает ответ на вопрос T.Giordano and P. de la Harpe.

2. Б.А. Пасынков. Обобщение теоремы Магилла на отображения.

7 мая

1. А.В. Одиноков. О пространствах, близких к метризуемым. Доказано, что ${\rm dim} X\times Y\leq {\rm dim} X+{\rm dim} Y$, если $X$ есть $\sigma$-метризуемый паракомпакт и $Y$ есть $R$-пространство (в смысле X. Оты) или $X$ есть лашневское пространство и $Y$ есть паракомпактное $R$-пространство. Получены коллективные факторизационные теоремы по весу и размерности для отображений в $\mu$-пространства (в смысле К.Нагами) и в замкнутые образы локально компактных метризуемых пространств. Доказано, что ${\rm dim} X={\rm Ind} X=\Delta X$, если нормальное пространство $X$ обладает замкнутым и нульмерным в смысле ${\rm dim} $ отображением в $\mu$-пространство.

2. В.И. Пономарев. К теореме Александрова-Хаусдорфа. Указанная теорема гласит, что каждое $A$-множество в полном сепарабельном метрическом пространстве либо счетно, либо содержит канторово совершенное множество. В докладе предлагается следующий вариант ее обобщения: $A$-множество в полном по Чеху пространстве либо $\sigma$-разрежено, либо содержит бикомпакт без изолированных точек. Из этого факта сразу следует теорема Александрова-Хаусдорфа, а также ее обобщение на несепарабельные полные метрические пространства (теорема А.Г. Елькина).

14 мая

1. П.М. Ахметьев, А.Б. Скопенков. Проблема Дэвермана о вложимости компактов в $\mathbf{R}^n$ и аппроксимации вложениями. Гипотеза Дэвермана о вложимости произвольного $S^n$-подобного компакта в $\mathbf{R}^{2n}$ была доказана Ахметьевым в 1996 г. для $n\geq 4$, $n\neq 7$. Исследование этой гипотезы для $n=2$ приводит к следующей проблеме: для каких гладких погружений $f:S^2\to \mathbf{R}^3$ общего положения существует вложение $\varphi:S^2\to \mathbf{R}^4$, такое, что $p\circ \varphi=f$ (где $p:\mathbf{R}^4\to \mathbf{R}^3$ -- каноническая проекция)? В докладе приводится полное решение этой проблемы в алгебраических терминах.

2. С.А. Богатый. Аппроксимация Чебышева, теорема Хаара-Колмогорова-Рубинштейна и задача Борсука-Болтянского. Доказываются следующие утверждения. Для любого четного $k\geq 5$ (нечетного $k\geq 6$) и любого непрерывного отображения $n$-мерного компактного пространства $f:X\to \mathbf{R}^m$, где $m\leq n(k+1)/2+1$ $(m\leq nk/2+2)$, существует $k+1$ точек, таких, что их образы принадлежат $(k-1)$-мерной плоскости. При любом четном $k\geq 1$ (нечетном $k\geq 2$) для любого непрерывного отображения $n$-мерного остова $(nk+n+k+(k+1)/2)$-мерного симплекса в $\mathbf{R}^{nk+n+k-1}$ существует $k+1$ точек, таких, что их образы принадлежат $(k-1)$-мерной плоскости.

Болтянский показал, что множество всех непрерывных отображений $n$-мерного компактного пространства в $\mathbf{R}^{nk+n+k}$, таких, что образы $k+1$ точек принадлежат $(k-1)$-мерной плоскости, всюду плотно.

Эти результаты дают решение проблемы Борсука-Болтянского о нахождении для четного $k$ числа $d_k(n)=nk+n+k$ -- наименьшей размерности линейного пространства, в которое любое $n$-мерное компактное пространство (полиэдр) можно вложить так, чтобы образы не более чем $k+1$ точек принадлежали $(k-1)$-мерной плоскости. По теореме Хаара-Колмогорова-Рубинштейна это равенство показывает, что для любой конечной системы непрерывных функций на $n$-мерном остове $(nk+n+k+(k+1)/2)$-мерного симплекса выпуклый многогранник аппроксимаций Чебышева имеет большую размерность для некоторых непрерывных функций.

3. В.И. Пономарев. Об одном типе эквивалентности пространств. Бикомпакт $X$ называется $p$-подчиненным бикомпакту $Y$ (обозначение $X\leq_p Y$), если каждое замкнутое подпространство $F\subset X$ соабсолютно некоторому замкнутому подпространству $Y$. Если одновременно $X\leq_p Y$ и $Y\leq_p X$, то $X$ и $Y$ называются $p$-эквивалентными. Существуют соабсолютные бикомпакты, которые не находятся в отношении $\leq_p$. Существуют также $p$-эквивалентные бикомпакты, которые не соабсолютны.

В.В. Федорчук, А.В. Архангельский, В.И. Пономарев,
Б.А. Пасынков, В.В. Филиппов

К оглавлению номера  Go!