НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ И ПРИЛОЖЕНИЯМ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ - Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. <IMG WIDTH="73" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="imgnom3.gif" ALT="1999. N 3">

Научно-исследовательский семинар по векторному и тензорному анализу и приложениям к геометрии, механике и физике // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. N 3 C. 69-70.

 

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ВЕКТОРНОМУ И ТЕНЗОРНОМУ АНАЛИЗУ И ПРИЛОЖЕНИЯМ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

Руководители: В.В. Трофимов, А.Т. Фоменко

Заседания весеннего семестра 1997/98 учебного года

6 апреля

В.В. Трофимов. Геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем. Дан обзор геометрии симплектических многообразий. Рассмотрены топологические инварианты, препятствующие существованию симплектических структур на гладких многообразиях, а также проблемы, связанные с построением симплектических связностей. Представлена геометрия вполне интегрируемых гамильтоновых систем: торы Лиувилля, скобки Пуассона и их связь с теорией алгебр Ли и групп Ли. Обсуждается построение вполне интегрируемых гамильтоновых систем на орбитах коприсоединенного представления $Ad^*$ группы Ли, в частности, теорема о сдвиге аргумента и теорема о тензорном произведении алгебры Ли коммутативной алгебры.

20 апреля

Т.Л. Мелехина. Геометрия плоских связностей на орбитах коприсоединенного представления тензорных расширений групп Ли. Предложено обобщение известного алгоритма продолжения функций с пространства, дуального к алгебре Ли, на пространство, дуальное к тензорному произведению этой алгебры Ли и коммутативной алгебры. Построены канонические координаты на орбитах общего положения коприсоединенного представления групп Ли, которые отвечают тензорным расширениям алгебр Ли. С использованием этих координат построены плоские симплектические связности на указанных орбитах.

4 мая

В.В. Трофимов. Дифференциально-геометрические методы математической экономики: модель монопольного производства. Изучается вариационная задача следующего вида:

\begin{displaymath} \int\limits_0^T [pD(p,\dot p)-C(D(p,\dot p))]\,dt \to \max \,, \end{displaymath}

где $D(p,\dot p),C(x)$ -- заданные функции, а $p(t)$ -- искомая. Эта задача связана с оптимальным выбором политики цен при монопольном производстве одного товара, при этом $D$ и $C$ -- функции спроса и стоимости производства соответственно, а интеграл описывает прибыль монополиста на интервале времени $[0,T]$.

Дано обобщение этой модели на случай призводства $n$ товаров, т.е. рассматривается $n$-секторное монопольное производство. В этой ситуации $D$ -- отображение касательного рааслоения к пространству цен в пространство товаров, а $C$ -- функция на пространстве товаров. Показано, что для функций $D,C$ специального вида динамика цен, составляющая максимум указанному интегралу, реализуется при движении вдоль геодезических линий некоторого риманового многообразия.

11 мая

В.О. Мантуров. Сети Штейнера на поверхностях постоянной отрицательной кривизны. В последние годы одной их актуальных задач является рассмотрение локально минимальных сетей -- одномерных континуумов, представляющих собой минимум функционала длины. На двумерных поверхностях, когда топология не является фиксированной, в каждой вершине такой сети сходятся три ребра под углами $2\pi/3$. Рассмотрим такую склейку сторон ``$2n$-угольника'' плоскости Лобачевского со всеми нулевыми углами, что полученное многообразие гомеоморфно сфере с несколькими выколотыми точками. Утверждается, что количество сетей Штейнера на таких многообразиях постоянной отрицательной кривизны конечно. Приводятся все сети Штейнера на указанной выше сфере с тремя выколотыми точками.

25 мая

М.П. Бурлаков. Пространства Козырева. Н.А. Козырев -- выдающийся астроном и астрофизик. Ряд его работ посвящен изучению физических свойств пространства-времени, из которых он выделяет направленность времени от прошлого к будущему и различие между правой и левой ориентацией вращения пространства. Цикл этих работ открывает книга Козырева ``Несимметричная или причинная механика в линейном изложении'', где приведены основные теоретические результаты. Можно показать, что результаты, следующие из теории Козырева, можно получить в рамках основных идей общей теории относительности, если симметричную метрику $g_{ij}$ заменить билинейной метрикой вида $G_{ij}=g_{ij}+h_{ij}$, $g_{ij}=g_{ji}$, $h_{ij}=-h_{ji}$.

Метрики такого вида на гладких многообразиях изучались многими геометрами, отметим работы А.П. Нордена, П.А. Широкова, Б.Н. Шапукова. В случае псевдориманового пространства с симметричной связностью в уравнении согласованности метрики и связности можно разделить симметричную и кососимметричную части. Это приводит к системе уравнений типа Эйнштейна-Гильберта

\begin{displaymath} R_{ij}-\frac12 g_{ij}R= 8\pi T_{(ij)}, \quad h_{ij}R =16\pi T_{[ij]} \,. \end{displaymath}

Кососимметрическая часть тензора энергии-импульса связана с моментом импульса материи, а кососимметрическая часть метрики порождает выделенное направление вращения и различие бустов вдоль временного направления. Эти результаты и составляют основные заключения причинной механики Козырева.

1 июня

Г.С. Чакветадзе. Одномерная динамика и модель бурения. В докладе обсуждаются вопросы существования и эргодичности конечной абсолютно непрерывной инвариантной меры одномерного отображения, возникающего при моделировании процесса бурения.

8 июня

Л.В. Липагина. О геометрии $f$-многообразий. Киллинговы $f$-структуры являются естественным обобщением приближенно кэлеровых и слабо косимплектических структур, широко изучаемых в печати. В докладе освещаются недавние результаты автора по данной проблематике.

8 июня

И.П. Борисовский. О геометрии главных $T$-расслоений над почти эрмитовыми многообразиями. Главные тороидальные расслоения, т.е. главные расслоения с компактной абелевой структурной группой, являются простейшим и в то же время содержательным примером главных расслоений. В теории таких расслоений тесно переплетены геометрические и топологические аспекты. В докладе освещается ряд новых результатов докладчика, касающихся геометрии этих расслоений с одномерным слоем.

К оглавлению номера  Go!