НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙТОПОЛОГИИ ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА - Вестн. Моск. ун-та. Математика. Механика. <IMG WIDTH="73" HEIGHT="14" ALIGN="BOTTOM" BORDER="0" SRC="imgnom1.gif" ALT="1999. N 1">

Научно-исследовательский семинар по общей топологии имени П.С. Александрова (заседания весеннего семестра 1994/95 учебного года) // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. N 1 C. 68-70.

 

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ СЕМИНАР ПО ОБЩЕЙ ТОПОЛОГИИ ИМЕНИ П.С. АЛЕКСАНДРОВА
(основан П.С. Александровым в 1924 г.)

Руководители: П.С. Александров (1924-1982), Ю.М. Смирнов (1982-1983), В.В. Федорчук (с 1983 г.)

Заседания весеннего семестра 1994/95 учебного года

9 февраля

1. В.В. Федорчук О международной конференции по теоретико-множественной топологии и ее приложениям в Мацуяме (Япония).

2. Ю.В. Садовничий О метрических и равномерных пространствах вероятностных мер (предзащита диссертации).

16 февраля

1. В.В. Филиппов О периодических решениях и разрешимости задачи Дирихле для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка.

2. Е. А. Резниченко, В. В. Успенский Псевдокомпактные мальцевские пространства. Доказано, что для мальцевского псевдокомпактного пространства $X$ компакт $\beta X$ является компактом Дугунджи. Попутно получены следующие результаты: если $Y$ -- счетно компактное пространство с раздельно непрерывной операцией Мальцева, то $\beta Y$ -- компакт Дугунджи, а если $Z$ -- псевдокомпактное пространство и $f:Z^3\to\mbox{\framn R}$ -- непрерывная функция, то $f$ продолжается до раздельно непрерывной функции $\widehat f:(\beta X)^3\to\mbox{\framn R}$.

2 марта

1. Р.З. Бузякова О компактах, расщепляемых над классом всех линейно упорядоченных пространств. Доказано, что континуум, расщепляемый над классом всех линейно упорядоченных пространств, является линейно упорядоченным пространством. Тем самым дан частичный ответ на вопрос А.В.Архангельского: всегда ли компакт, расщепляемый над классом всех линейно упорядоченных пространств, линейно упорядочиваем? Также доказано, что для континуумов мощности $2^{\aleph_0}$ из расщепляемости над линейно упорядоченным пространством $L$ следует существование вложения в $L$.

2. Р.З. Бузякова Расщепляемость и образы декартовых произведений при уплотнениях (предзащита диссертации).

3. В.В. Федорчук, А.В. Архангельский Об уплотнениях счетно компактных пространств на бикомпакты. Описана конструкция, позволяющая построить широкий класс нормальных счетно компактных пространств с первой аксиомой счетности, не уплотняемых на бикомпакты.

9 марта

1. П.В. Семенов, Д.Реповш (Словения) Непрерывный выбор в определениях типа непрерывности. Доказано, что в обычном определении непрерывности отображения $f$ между метрическими пространствами $X$ и $Y$ можно считать $\delta=\delta(x,f,\varepsilon)>0$ непрерывной функцией от $x\in X$, $f\in C(X,Y)$, $\varepsilon>0$. Аналогичный факт доказан для модуля локальной стягиваемости метризуемого пространства. В последнем случае $\delta=\delta(x,\rho,\varepsilon)$, где $x\in X$, $\rho$ -- метрика на $X$, $\varepsilon>0$. Использованы селекционные теоремы для не полунепрерывных снизу отображений.

2. А.П. Комбаров О расширяемых дискретных системах подпространств произведений. $T_1$-пространство $X$ обладает свойством $sE$ (соответственно $E$), если каждая дискретная система замкнутых счетных множеств (соответственно одноточечных множеств) расширяется до локально конечной системы открытых множеств. Если во всяком бесконечном замкнутом дискретном подмножестве $X$ содержится бесконечное расширяемое подмножество, то $X$ обладает свойством $wE$. Доказываются аналоги известной теоремы Катетова. Если произведение $X\times Y$ обладает свойством $sE$ наследственно, а пространство $Y$ регулярно и содержит счетное незамкнутое множество, то всякое счетное замкнутое подмножество $X$ является $G_\delta$-множеством. Если любое $F_\sigma$-множество в дополнении до каждой точки произведения $X\times Y$ обладает свойством $sE$ (соответственно $E$), пространство $Y$ регулярно и содержит счетное незамкнутое множество (соответственно счетное незамкнутое дискретное множество), то псевдохарактер $X$ счетен. Если дополнение до любой точки произведения $X\times Y$ обладает свойством $E$ (соответственно $wE$), в пространстве $Y$ содержится незамкнутое счетное подмножество с единственной предельной точкой (соответственно содержит $\omega+1$), то псевдохарактер $X$ также счетен. Нетривиальные $\Sigma$- и $\sigma$-произведения являются примерами пространств, дополнения до точек которых не обладают свойством $wE$.

16 марта

1. П.В. Семенов Непрерывные селекции не полунепрерывных снизу отображений. Доказана селекционная теорема для квазиполунепрерывных снизу отображений с паравыпуклыми значениями. Квазиполунепрерывностью снизу гарантируется наличие полунепрерывной снизу селекции, значения которой, вообще говоря, могут не быть паравыпуклыми.

2. А.В. Одиноков Пространства Дугунджи с несовпадающими размерностями.

Теорема [CH]. Для любого счетного, отличного от нуля порядкового числа $\alpha$ существует пространство Дугунджи $Y_\alpha$ размерности $\dim Y_\alpha=1$ и ${\rm ind}\,Y_\alpha=\alpha$.

23 марта

1. В.А. Чатырко Об аксиоматике размерности Хендерсона $D$ в классе слабо счетномерных компактов. Пусть $d$ -- конечнозначная размерностная функция, ${\rm tr}\,d$ -- ее трансфинитное продолжение. Аксиоматики $\Sigma_d$ и $\Sigma_{{\rm tr}\,d}$ функций $d$ и ${\rm tr}\,d$ называются согласованными, если $\Sigma_d\subset\Sigma_{{\rm tr}\,d}$. Приводятся согласованные аксиоматики $\dim$ и $D$ в классе слабо счетномерных компактов.

2. Д.В. Малыхин Об уплотнениях и расщеплениях над хаусдорфовыми пространствами.

Теорема. Для любого тихоновского пространства $Z$ найдутся тихоновское пространство $Y$ и подмножества $A\subset Y$ и $B\subset Y^2$, такие, что:

1) пространство $Y$ сохраняет свойства типа компактности и нормальность пространства $Z$;

2) если непрерывное сюръективное отображение $f:Y\to X$ расщепляет $Y$ вдоль $A$ и пространство $X$ хаусдорфово, то $X$ содержит открыто-замкнутую копию пространства $Z$;

3) если непрерывное сюръективное отображение $f:Y^2\to X$ расщепляет $Y^2$ вдоль $B$ и пространство $X$ хаусдорфово, то $X$ содержит замкнутую копию пространства $Z^2$.

30 марта

1. Н.Б. Бродский Регулярные отображения многообразий. Отображение $f:X\to Y$ называется $n$-регулярным в точке $x\in X$, если для любой открытой окрестности $U$ точки $x$ существуют открытые окрестности $V$ и $W$ точек $x$ и $f(x)$, такие, что для всякого отображения $g:\partial B^k\to V\cap f^{-1}(y)$, где $y\in W$ и $B^k$ -- единичный шар в $\mbox{\framn R}^k$ при $0\leq k\leq n+1$, найдется отображение $G:B^k\to U\cap f^{-1}(y)$, такое, что $G\vert _{\partial B^k}=g$.

Теорема. Если $f:M^m\to N^n$ является $r$-регулярным ($r\geq 0$) отображением многообразий, то $f$ бесконечно регулярно в точке $x\in {\rm Int}\, M$ при выполнении одного из следующих условий: $(1)$ $m\leq 2r+2$ и $m-n\leq r$; $(2)$ $m=2r+3$, $n>r+2$ и $f$ -- аппроксимативное $(r+1)$-расслоение; $(3)$ $m=2r+3$, $n=r+2$, $f(x)\in{\rm Int}\, N$ и $f$ -- аппроксимативное $(r+1)$-расслоение; $(4)$ $m=2r+4$, $n>r+3$ и $f$ -- $(r+1)$-расслоение; $(5)$ $m=2r+4$, $n=r+3$, $f(x)\in{\rm Int}\, N$ и $f$ -- $(r+1)$-расслоение.

2. А.В. Карасев О размерности некоторых подмножеств многообразий.

6 апреля

1. А.А. Борубаев (Бишкек) Об оригиналах равномерных пространств. Рассматривается категория ${\rm Unif}_{\cal B}$, объектами которой служат пары $(X,{\cal B})$, где $X$ -- множество, а ${\cal B}$ -- база некоторой равномерности на $X$, а морфизмами -- такие отображения ``на'' $f:(X_1, {\cal B}_1)\to(X_2,{\cal B}_2)$, что $f({\cal B}_1)={\cal B}_2$. Объект $(\dot X,\dot{\cal B})$ категории ${\rm Unif}_{\cal B}$ называется оригиналом объекта $(X,\cal B)$, если: 1) существует морфизм $f:(\dot X,\dot{\cal B})\to(X,{\cal B})$; 2) всякий морфизм $g:(Y,{\cal A})\to(\dot X,\dot{\cal B})$ является изоморфизмом. Доказывается, что для каждого объекта $(X,{\cal B})$ категории ${\rm Unif}_{\cal B}$ существует единственный оригинал и оригиналы и только они являются проективными объектами категории ${\rm Unif}_{\cal B}$. Если база ${\cal U}$ является равномерностью, то объект $(\dot U,\dot{\cal U})$ называется оригиналом равномерного пространства $(X,{\cal U})$. Два равномерных пространства $(X,{\cal U})$ и $(Y,{\cal V})$ называются сооригинальными, если их оригиналы изоморфны. Доказывается, что если пространства $(X,{\cal U})$ и $(Y,{\cal V})$ сооригинальны и одно из них полно (соответственно предкомпактно, $\tau$-ограничено), то и другое является таким же. Устанавливаются другие свойства оригиналов.

2. М.М. Заричный (Львов) Универсальные отображения и абсорберы, связанные с лебеговой и когомологической размерностью. Доказано существование поглощающих множеств в смысле Бествины и Могильского для классов сепарабельных метрических пространств, на которые наложены размерностные условия (например, (сильная) счетномерность, конечная когомологическая размерность и т.п.), а также ограничения их борелевского типа. В доказательствах используются теоремы существования универсальных отображений, повышающих размерность.

13 апреля

1. А.В. Островский (Санкт-Петербург) О некоторых новых результатах, связанных с проблемами Майкла. В докладе дается история некоторых проблем Майкла об индуктивной совершенности $k$-накрывающих, $s$-накрывающих и трифакторных отображений. Сообщается о недавних результатах Г. Дебса и Ж. Сен-Реймона.

2. О.И. Павлов Об уплотнениях тихоновских произведений. Для произвольного тихоновского пространства $X$ существует такое тихоновское пространство $M(X)$, что любой хаусдорфов образ при уплотнении пространства $(M(X))^\mu$ содержит в качестве замкнутого подмножества копию пространства $X^\mu$. Если $\mu$ -- конечный кардинал, то указанное включение -- открыто замкнутое. При этом $M(X)$ обладает каким-либо из свойств: (слабой) нормальностью, коллективной нормальностью или хаусдорфовостью, паракомпактностью, псевдокомпактностью, вещественной полнотой, свойством $l(M(X))\leq\tau$, $ic(M(X))\leq\tau$, если и только если этим свойством обладает пространство $X$. Для любого тихоновского недискретного пространства $X$ существует такое коллективно нормальное пространство $E(X)$, что тихоновское произведение $X\times E(X)$ не уплотняется на нормальное пространство. Для любого тихоновского бесконечного (нульмерного) пространства $X$ веса $\tau$ тихоновский (канторов) куб веса $\tau$ можно разбить на $2^\tau$ непересекающихся копий пространства $X$.

20 апреля

1. В.В. Федорчук Несколько замечаний о числе Суслина и ковариантных функторах.

2. И.Г. Тиняков Борелевская классификация борелевских множеств в произведении двух стрелок и канторова совершенного множества.

Теорема. Каждое борелевское множество в произведении ``двух стрелок'' Александрова и канторова совершенного множества либо счетно, либо $B$-изоморфно канторову множеству, либо $B$-изоморфно ``двум стрелкам'', либо $B$-изоморфно дискретной сумме ``двух стрелок'' и канторова множества, либо $B$-изоморфно произведению ``двух стрелок'' и канторова множества.

27 апреля

1. Р. Коти (Франция) Стягиваемые группы и теория ретрактов.

2. А.П. Комбаров О свойстве $wE$ в $\tau$-оболочках. $T_1$-пространство обладает свойством $wE$, если во всяком его бесконечном замкнутом дискретном подмножестве содержится бесконечное подмножество, которое расширяется до локально конечной системы открытых множеств. Если $X = \prod \{X_\xi : \xi \in \Xi \}$, где все $X_\xi$ неодноточечны, и $x^*=\{x^*_\xi\}\in X$, то для каждой точки $y=\{y_\xi\}$ из $X$ определено множество индексов $Q(y)=\{\xi\in\Xi:y_\xi\ne x^*_\xi\}$. Пусть $\tau$ -- бесконечный кардинал. Подпространство произведения $Y(x^*, \tau)=\{y\in X:\vert Q(y)\vert<\tau\}$ называется $\tau$-оболочкой пространств $X_\xi$. В случае $\tau=\omega_1$ (соответственно $\tau=\omega$) получаем $\Sigma$-произведение (соответственно $\sigma$-произведение) пространств $X_\xi$. Если $Y$ -- $\tau$-оболочка неодноточечных пространств $X_\xi$, $\xi\in\Xi$, и $\vert\Xi\vert\ge\max\{\omega_1, \tau\}$, то подпространство $Y\setminus\{z\}$ не обладает свойством $wE$ для любой точки $z\in Y$. В то же время известно, что если множество $Z$ замкнуто в $\tau$-оболочке $Y(x^*,\tau)$ и $\vert\cup\{Q(z):z\in Z\}\vert<\tau$, то $Y\setminus Z$ является не нормальным подпространством $Y$. Неизвестно, можно ли усилить последнее утверждение и доказать, что $Y\setminus Z$ не является $wE$-пространством в этом случае.

4 мая

1. Б.А. Пасынков О размерности равномерных пространств. Для равномерного пространства $(X,{\cal U})$ считается, что ${\rm ind}\,(X,{\cal U})=-1 \iff X=\emptyset$ и ${\rm ind}\,(X,{\cal U})\leq n$, $n=0,1,2,\ldots$, если в любое равномерное покрытие $\alpha$ этого пространства можно вписать его равномерное покрытие $\beta$ так, что ${\rm ind}\,({\rm bd}\, O,{\cal U}\vert _{{\rm bd}\, O})\leq n-1$ для любого $O\in\beta$. (Эту размерность независимо рассматривал также C. Илиадис.) Равномерное пространство $(X,{\cal U})$ назовем $\mbox{\framn R}$-факторизуемым, если для любой непрерывной функции $f:X\to\mbox{\framn R}$ существуют такие метрическое пространство $Y$, равномерное непрерывное отображение $g:X\to Y$ и непрерывная функция $h:Y\to\mbox{\framn R}$, что $f=h\circ g$. Оказывается, если пространство $(X,{\cal U})$ обладает базой из счетных покрытий и $\mbox{\framn R}$-факторизуемо, то из ${\rm ind}\,(X,{\cal U})\leq 0$ следует $\dim X\leq 0$. Отсюда вытекает, что для $\mbox{\framn R}$-факторизуемой топологической группы $G$ соотношения $\dim G=0$ и ${\rm ind}\, G=0$ равносильны (результат Д. Б. Шахматова).

2. Е.А. Резниченко Продолжение функций с произведений псевдокомпактных пространств. Рассматриваются условия, при которых вещественная (раздельно) непрерывная функция $f:X_1\times X_2\times\ldots\times X_n\to\mbox{\framn R}$ продолжается до раздельно непрерывной функции $\widehat f:\beta X_1\times\beta X_2\times\ldots\times\beta X_n\to\mbox{\framn R}$.

11 мая

1. С.Д. Илиадис (Греция) Отображения и универсальность.

2. В.В. Федорчук О числе Суслина пространств вероятностных мер. С помощью одной старой комбинаторной теоремы Ф. Холла доказывается, что $c(P(X))=c(X^\omega)$ для любого бикомпакта $X$.

К оглавлению номера  Go!